Podpora, diskusní fórum
Nahlásit chybu

Taylorův polynom

Taylorův polynom $n$-tého stupně pro funkci $ f(x)$ se středem v bodě $ x=x_0$\[\begin{align*} T_n(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots\\&+\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+\cdots \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{align*}\]

Zadání

Najděte Taylorův polynom stupně $ 5 $ pro funkci$ f(x)= \ln \left( {{1+x}\over{1-x}}\right) $ se středem v bodě $ x_0=0$.

Funkce a funkční hodnota

$ f(x)= \ln \left( {{1+x}\over{1-x}}\right) $,      $ f(0)= 0 $

Derivace, derivace v bodě $0$ a koeficienty Taylorova polynomu

$ i$$f^{(i)}(x)$$f^{(i)}(x_0)$$\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}$
1$ -{{2}\over{x^2 -1}} $$ 2 $$ 2 $
2$ {{4{}x}\over{x^4-2{}x^2+1}} $$ 0 $$ 0 $
3$ -{{4{}\left(3{} x^2+1\right)}\over{\left(x-1\right)^3{}\left(x+1\right)^3}} $$ 4 $$ {{ 2}\over{3}} $
4$ {{48{}x{}\left(x^2+1\right)}\over{\left(x-1\right)^4{} \left(x+1\right)^4}} $$ 0 $$ 0 $
5$ -{{48{}\left(5{}x^4+10{}x^2+1\right) }\over{\left(x-1\right)^5{}\left(x+1\right)^5}} $$ 48 $$ {{2}\over{5}} $

Taylorův polynom

$ T_{5}(x)= 2{}x+{{2}\over{3}}{}x^3+{{2}\over{5}}{}x^5 $